Ⅰ 皮帶傳動中帶輪受到的摩擦力的演算法
齒輪是重要的基礎機械元件。齒輪傳動量大面 廣，在機械傳動中佔有主導地位。由於齒輪摩擦學機 制異常復雜，目前仍是機械學科研究的熱點之一，其 中摩擦因數是今後長期研究的難點與重點 。 Jost 指出，摩擦學研究具有巨大經濟效益，尤 其適用於機械傳動。齒輪傳動齒面摩擦力的主要影響 有：降低傳動效率，加劇輪齒失效 （磨損、點蝕、 膠合、折斷等），引起系統振動與雜訊等。隨著齒輪 傳動向高速、重載、精密、高效、低雜訊與長壽命方 基金項目：國家自然科學基金資助項目 （50475139）． 收稿日期：2o05—12—20 作者簡介：周長江 （1975一），博士研究生，主要從事復雜機械 系統建模、分析與模擬，同時從事汽車安全技術研究． 向的發展，齒面摩擦特性研究對於減少摩擦損失、增 大輪齒承載能力、改善系統傳動性能等具有顯著的意 義。摩擦損耗是齒輪傳動功率損失最主要的因素，尤 其在高速、重載、大功率傳動系統中 j。一定工況 下，齒面摩擦力對齒根彎曲與齒面接觸疲勞強度的影 響不能忽略 ；研究者在齒輪有限元分析中開始重 視齒面摩擦力的影響 。研究表明 「 ，齒面摩 擦力在點蝕形成、齒根裂紋萌生與擴展及輪齒斷裂過 程中起到加速作用。同時，齒面摩擦力影響到齒輪系 統的動態特性，是重要的振動與雜訊激勵源 。 上述研究表明，准確求解出嚙合齒面上各點的摩 擦力和摩擦因數，對於齒輪疲勞強度設計、破壞機制 分析、系統動力學和減振降噪等研究具有積極的意 義。本文作者將重點對復雜潤滑狀態下齒面摩擦因數 的計算方法進行系統研究。按研究手段不同，齒面摩 維普資Page 2
186 潤滑與密封 總第182期 擦因數計算方法主要分為2大類：一類以彈流潤滑理 論為基礎，另一類則是以齒面摩擦特性試驗為基礎。 結合作者的研究成果，補充了線外嚙合沖擊摩擦模型 及其摩擦因數的計算方法。 1 基於彈流潤滑理論的齒面摩擦因數計算方法研究 1965年Bodensieck首次提出 「油膜比厚系數」A： A： （1） 式中：h…為最小油膜厚； ＝￣／ ＋ ；， 。、 分 別為齒面 1、2的粗糙度均方根值。 Akin 16〕在總結前人的成果並結合自己的研究， 把齒輪潤滑摩擦狀態大致分為3類：A＞3，完全彈 流潤滑狀態；1 A 3，混合彈流潤滑狀態；A＜1， 邊界潤滑狀態。下面分別對上述3種潤滑狀態下齒面 摩擦因數的計算方法進行研究。 1．1 完全彈流潤滑 當前比較成熟的彈流潤滑理論和摩擦因數計算公 式是在穩態彈流下建立的，典型的計算方法為道森理 論的線／點接觸等溫全膜彈流數值解法。 Dowson和 Higginson 根據彈流潤滑理論，得出 線接觸等溫全膜彈流數值解的摩擦因數計算公式： ＝ 7／dx （2、 在齒輪傳動計算中，瞬時嚙合處的最小油膜厚度 是一個非常重要的評價指標，其經驗計算式為： h… ＝2．65 G0 。 」 （3） Dowson公式後來被眾多的試驗所證實，作為理 想彈流階段的重要成果被普遍承認，在高副傳動計算 中被廣泛使用。該公式在下面情況時誤差較大：①材 料參數G小於1 000，即低彈性模量材料採用低粘度 系數的潤滑劑時；②載荷系數 小於 l0 的輕載荷情 況；③供油不足或高速條件下剪切熱引起粘度下降等 情況時。值得注意的是，由於滾動摩擦力幾乎完全位 於平行油膜的入口處，而推導式 （3）時只考慮使油 膜具有平行區段的載荷，即h ＝h。，如圖1所示。 圖1 線接觸彈流潤滑模型 對於更為一般的高副接觸情況，1977年，Harm． rock和Dowson 對等溫橢圓接觸的彈流問題進行了 大量的數值計算，提出了各種情況下點接觸彈流的壓 力分布、油膜形狀以及最小油膜厚度的計算公式。 1979年，他們又提出了等溫橢圓接觸的潤滑狀態圖， 為理想型點接觸彈流油膜厚度的計算奠定了基礎 。 下面直接給出Harmrock和Dowson對等溫點接觸全膜 彈流提出的油膜厚度公式： Hmm＝3．63 G0鉀 町 （1一e ） （4） 實驗證明 ：式 （4）的計算結果與實際測量值 較為一致，推薦用於等溫點接觸的彈流潤滑計算。 1．2 混合彈流潤滑 混合彈流潤滑的概念正式提出可以追溯到Chris． tensen 的研究。齒輪傳動中，齒面摩擦因數隨著轉 速、載荷分布與齒廓表面形狀等因素的改變而發生顯 著變化。Martin 發現，由於上述因素的影響，輪齒 潤滑狀態在液體摩擦與邊界摩擦之間不斷擺動。事實 上，混合彈流潤滑是實際齒輪傳動中廣泛存在的接觸 狀態，是液體潤滑、邊界潤滑、薄膜潤滑等的共同組 合。 wu 採用簡化的齒輪副摩擦模型研究了輪齒在 動壓油膜和邊界接觸共同作用下的齒面摩擦特性。 Jiang 基於 「Macro Micro」 方法對混合潤滑狀態下 的齒面摩擦磨損現象進行了探索。基於混合彈流潤滑 理論，並結合實驗研究，Kelley和 Lemanski〔2 （式 （5））、Martin （式 （6））等人先後提出了不同的 摩擦因數計算公式；Gohar＿2 （式 （7））對Evans— Johnson公式進行了修正，增加了考慮非線性粘性與 粘彈的影響因子。 一 o．o 1 lgl 九 1 71 r … IXT ～P L （o J 7 ￣o＋1．74＠lnP〔 （ 〕 l 丁n凡n l＋ ．O c ． （7） I，．fcL， 32 、l／ 【 面 但由於齒面粗糙度的隨機性及輪齒對滾動和相對 滑動過程中表面接觸狀態的時變性，致使混合潤滑狀 態下輪齒的摩擦特性非常復雜，至今尚未建立完善的 物理模型及相關理論。Vaishya和 Houser ，對上述 研究成果進行了深入的數值分析和實驗比較，結果表 明Kelley和 Lemanski考慮了表面光潔度的閃溫因素 在內的公式與實驗吻合得較好，較為接近齒輪嚙合的 實際工況。Vaishya和Houser還對低粘度潤滑劑情況 下的Kelley—Lemanski公式進行了修Page 3
2006年第10期 周長江等：齒輪傳動齒面摩擦因數計算方法的研究 187 計算混合潤滑狀態下齒面摩擦因數的另一種方法 認為：綜合摩擦因數＿廠由邊界潤滑狀態下的摩擦因數 與部分液體摩擦因數 。組成： ／＝f．q ＋ 。q 。 （9） 式中：q 、qEHD分別為峰頂接觸的承載系數和彈流潤 滑油膜的承載系數，均由相應的實驗測出，二者滿足 q ＋q咖 ＝1。 由表面微凸體的接觸性質決定，可用 實驗進行測定； 。不是常數，而是嚙合輪齒滑滾比 的函數。 1．3 邊界潤滑 邊界潤滑由Hardy於 1919年首次提出，用以描 述一種介於液體潤滑與干摩擦之間的潤滑狀態。後來 經 F P Browdon，D Tabor，以及B．B．皿e pYlrHH等人 的貢獻，使得邊界潤滑理論的發展日趨完善，並被稱 為提高齒輪傳動潤滑性能的重要理論基礎。 齒輪傳動中，邊界潤滑在一定的情況下客觀存 在。如在嚙入點附近區域，被動齒輪輪齒的齒頂沿著 主動齒輪齒廓刮行，動力油膜基本被破壞，主要以邊 界潤滑的形式存在。邊界潤滑機制復雜，測試分析困 難，因此，至今仍沒有統一的計算公式，應用也還處 於經驗階段。邊界潤滑對齒面摩擦磨損中出現的粘著 效應、犁溝效應等影響顯著。 Tallian 通過對粗糙表面彈流接觸的壓力和湍流 研究，指出工作表面經過跑合，穩定狀態下產生的塑 性焊合的可能性很小。對於磨齒、滾齒並經跑合的齒 面來說，可以認為上述嚙合階段齒面處於彈性峰接 觸，其邊界油膜不會破裂。通常認為峰點接觸處於邊 界潤滑狀態，其摩擦因數基本保持為常量，實驗所測 得邊界潤滑的摩擦因數一般為： ＝0．1～0．2。邊界 潤滑 （A＜1）下齒面摩擦 因數 的計算 多選用 Buckingham 半經驗式： 「 ＝0．05e加 ＋0． ooz／v； （10） 2 基於齒面摩擦特性試驗的齒面摩擦因數計算方法 研究 嚙合齒面間的摩擦因數呈時變、強非線性分 布」 ；其值取決於齒面材料、表面光潔度、齒形、 載荷、工作溫度、潤滑狀態、非穩態油膜的流變特性 及潤滑油種類等諸多因素 。因此，根據純彈流 潤滑理論建立齒輪摩擦特性分析模型很困難，求解也 非常復雜；而過多的條件簡化往往會影響到分析結論 的可靠性。於是，許多齒面摩擦特性試驗研究應運而 生。 2．1 基於嚙合點曲率半徑等效原理的模擬試件的齒 面摩擦因數試驗研究 嚙合點曲率半徑等效原理 （圖2）為：齒廓上到 節點P距離為s的K點的瞬時嚙合接觸，可用曲率半 徑分別為Rl＝rl sins ＋s與R2＝／』2sint￣ 一s，轉速等於 齒輪轉速的2個模擬試件—— 當量圓柱體或圓盤的摩 擦接觸來模擬。 圖2 漸開線齒輪等效曲率半徑 齒面摩擦力模擬試驗研究，主要是藉助齒輪摩擦特 性試驗台直接測出模擬試件的摩擦力矩，再計算摩擦力 與摩擦因數。計算式通常比較簡單，如式 （11） 與式 （12） ： u＝4．255T／F 2Mf ／ （11） （12） 常見的試驗機有雙圓盤、四圓盤、盤球試驗機 等 ，這些模擬試驗機為研究油膜的潤滑機制、 摩擦特性及齒面摩擦力與摩擦因數的分析起到了很大 的作用。 但其主要不足有：① 圓柱或圓盤之間的油膜性 狀不能完全反映實際輪齒之間的油膜復雜的流變、剪 變等變化規律；② 不能真實反映熱、流體與結構的 多物理場耦合效應對潤滑油膜的影響；③ 每對圓柱 或圓盤只能模擬齒廓上的一個嚙合點的情況，且不能 反映部分齒形參數對油膜性狀的作用；④ 不能反映 實際輪齒嚙合周期內多潤滑狀態的交變對油膜摩擦特 性的影響。 2．2 基於功率損失與摩擦功耗等效原理的齒輪試件 的齒面摩擦因數試驗研究 Rao 根據一個嚙合周期內摩擦功等於輸入與輸 出功率損失的原理，得出了平均摩擦因數的計算式： 維普資訊 Page 4
188 潤滑與密封 總第 182期 （1一叼T）（￡ ＋f ） rh1（1「）〔（ ） ＋ln 麗 〕 （13） 式 （13）只考慮了滑動速度而不計滾動摩擦損 失，且不能求解瞬時摩擦因數。Hori 採用重力擺錘 法使嚙合輪齒間產生可控的滑動與滾動來模擬齒面接 觸，進而求解出齒面摩擦因數。擺錘法的基本原理是 給擺錘一個很小的自由衰減振盪，擺錘勢能的減少量 等於嚙合輪齒表面摩擦力所做的功。單雙齒嚙合區的 齒面摩擦因數計算式分別為： h（cos0 一cos0 ＋2 ） 2（1±衛）e ∑ r ， h（cos0 一cos0m ） r ． i＋2N 一1 （1±： ）（el＋e2） ∑ ， （14） （15） 式中的 「±」 分別表示外嚙與內嚙合方式，該方法 僅適用於准靜態測試。 1．變頻電機 Z聯軸器 輸入轉速轉 矩感測器 4潤滑系統 s載入器 矗冷卻系統 試驗齒輪 ＆輸出轉速轉 矩感測器 圖3 封閉功率流齒輪傳動效率測試原理 以齒輪試件為研究對象計算齒面摩擦因數，更多 的是基於功率流齒輪傳動效率測試方法，其中以閉式 功率流試驗測量居多。其測試原理 （見圖3）為：用 轉速轉矩感測器測出輸入端和輸出端的轉速與轉矩， 求出試驗齒輪裝置的總功率損失，進而算出傳動效 率；近似地認為齒面摩擦功耗等於總功率損失，再求 出齒面的 「有效 」 或 「當量 」 摩擦因數 （見式 （16））；或將軸承中的摩擦損耗從總功率損失中分離 出來，再計算齒面摩擦因數 加 （見式 （17））。 廠： ・ ．詈 （16） 2 ＋I，b＋ F （17） 實際上，功率流齒輪試驗台系統的總功率損失中 包含了齒輪、軸承、聯軸器等零部件的空載損耗、攪 油損耗，各封閉圈與軸表面問的摩擦損耗，試驗台各 運動副表面的空氣阻力損耗，齒面摩擦損耗，軸承摩 擦損耗及聯軸器的工作損耗等。基於功率流齒輪傳動 效率的測試方法，一方面從總功率損失中分離出摩擦 損耗的操作比較復雜，但若不去掉系統誤差，則測量 結果的可信度將大大下降。另外， 「有效 」 或 「當 量」摩擦因數並不能反映輪齒實際嚙合周期內不同 接觸點真實的摩擦狀況。 3 齒面摩擦因數動測實驗研究 Benedict 嘗試用應變計測量2個孤齒試驗齒輪 嚙合的瞬時動態摩擦因數，但因系統慣性和低階系統 共振頻率的干擾而致使測試結果失真，最終只得採用 圓盤模擬試驗機測量模擬試件的摩擦力。Oswald 在NASA齒輪雜訊試驗台上進行了動測試驗，試驗中 採用的試件一類為齒廓修形齒，另一類為未修形齒。 Oswald根據渦流測扭儀的測試結果計算出齒面摩擦 力；該項工作為後來齒面摩擦力動測試驗奠定了堅實 的基礎。 圖 4 齒面摩擦力動測試驗 台 Rebbrchi 設計出齒面摩擦力動測試驗台 （圖 4），並將其測試結果與相關的研究結論進行了驗證。 該試驗台的基本測試原理為：通過貼在2個連續齒的 齒根過渡曲線區域的應變計，分別測出嚙合輪齒的在 接觸點的法向力與摩擦力： ISc allFn＋at2Ff （18） 【St＝a21F ＋a22F 再根據庫侖定律計算出摩擦因數。由於其中一個試驗 齒輪只有一個輪齒，因此當重合度大於1時，測試結 果就不能真實反映多齒嚙合區的法向力與摩擦力。另 外，由於該試驗測試原理是分時測得法向力與摩擦 力，因此與實際嚙合點法向載荷與摩擦力同時作用且 隨嚙合點不同齒面呈現不同的摩擦過渡與交變的情況 存在一定的差距。 維普資訊 Page 5
2006年第10期 周長江等：齒輪傳動齒面摩擦因數計算方法的研究 189 由於動態測試系統能夠在較高轉速下直接測試輪 齒敏感區的應力應變，與前面提到的模擬試驗機與功 率流試驗系統相比較，動態測試結果更能真實地反映 嚙合點的受力情況。齒面摩擦因數動測試驗需要注意 的主要問題有：盡量減小被測系統的動態特性 （如 慣性、共振、系統變形等因素）對測試敏感元件及 其數據採集的干擾；降低測試系統自身的誤差等。 4 線外嚙合沖擊模型及其摩擦因數計算方法的研究 考慮齒輪加工與裝配誤差、輪齒磨損與彈性變形 以及系統變形等因素時，客觀上存在線外嚙合沖擊接 觸。受載輪齒與非理想齒輪傳動中，這是不可避免的 現象 j。在線外嚙合沖擊階段，齒面的摩擦特性不 同於以彈流潤滑理論為基礎的邊界潤滑、混合潤滑或 完全彈流狀態下的輪齒摩擦機制；同時也不便用上面 介紹模擬試驗機測量；也不宜用傳統的摩擦功耗與傳 動功率損失等效的原理進行分析。在此，作者根據多 年的研究成果建議按沖擊摩擦進行建模，並給出了齒 面沖擊摩擦因數計算式。 基於精確的齒輪有限 元模型得出的載荷歷程數 值分析結論 （圖 5）， 准確地推導出考慮雙齒區 應力疊加效應且含系統誤 差與輪齒綜合變形時線外 竺 ．沖 寶 喜圖 輪齒綜合變形載荷歷程 速度和沖擊力 （圖… — ………… 6）。進而推導出由實際嚙入沖擊點到理論嚙合線嚙 入點全程中任意點的位置、沖擊速度和沖擊力的算 法，從而准確地計算出線外嚙合階段各點的沖擊摩擦 力與摩擦因數 ，其中嚙入沖擊力計算式為： （19） I F cos（arcsin 』b2）dt ＝ ————— （20） I F sin（arcsin 』b2）dt O a2 含系統誤差與綜合變形齒輪副線外嚙合沖擊摩擦 分析模型的提出，並准確地計算出線外嚙合階段各點 的沖擊摩擦力與摩擦因數，其意義主要體現在：對實 際齒輪傳動系統輪齒嚙合周期內出現的沖擊摩擦接 觸、邊界潤滑、混合潤滑與完全彈流潤滑等狀況分階 段進行系統研究，從而較完整地揭示出復雜潤滑狀態 下齒輪副的摩擦力與摩擦因數的變化規律。 圖6 齒輪線外沖擊嚙合 5 結論 （1）以彈流潤滑理論為基礎，對 3種典型潤滑 狀態下齒面摩擦因數的計算方法及其適用條件等進行 了較深入的分析。 （2）以齒面摩擦特性試驗為基礎，分別對基於 嚙合點曲率半徑等效原理的模擬試件與基於功率損失 同摩擦功耗等效原理的試驗齒輪的齒面摩擦因數計算 方法的特點、實驗條件及結論等進行了比較研究。 （3）比較指出了齒面摩擦因數動測實驗結果具 有更高的可信度。 （4）在分別從理論與實驗兩個方面對齒面摩擦 因數的計算方法進行了綜合分析與比較研究後，補充 提出了含系統誤差與綜合變形齒輪副線外嚙合沖擊摩 擦模型，給出了相應的沖擊摩擦力與摩擦因數計算 式，從而較完整地構建了含系統誤差與綜合變形的復 雜潤滑狀態下齒輪傳動齒面摩擦因數的計算方法體 系。該體系對探索齒輪摩擦機制、完善其強度設計准 則；對提高齒輪設計製造水平和促進減摩耐磨技術的 開發，均具有較重要的意義。
參考文獻 【1】周仲榮，