Ⅰ 皮带传动中带轮受到的摩擦力的算法
齿轮是重要的基础机械元件。齿轮传动量大面 广，在机械传动中占有主导地位。由于齿轮摩擦学机 制异常复杂，目前仍是机械学科研究的热点之一，其 中摩擦因数是今后长期研究的难点与重点 。 Jost 指出，摩擦学研究具有巨大经济效益，尤 其适用于机械传动。齿轮传动齿面摩擦力的主要影响 有：降低传动效率，加剧轮齿失效 （磨损、点蚀、 胶合、折断等），引起系统振动与噪声等。随着齿轮 传动向高速、重载、精密、高效、低噪声与长寿命方 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （50475139）． 收稿日期：2o05—12—20 作者简介：周长江 （1975一），博士研究生，主要从事复杂机械 系统建模、分析与仿真，同时从事汽车安全技术研究． 向的发展，齿面摩擦特性研究对于减少摩擦损失、增 大轮齿承载能力、改善系统传动性能等具有显著的意 义。摩擦损耗是齿轮传动功率损失最主要的因素，尤 其在高速、重载、大功率传动系统中 j。一定工况 下，齿面摩擦力对齿根弯曲与齿面接触疲劳强度的影 响不能忽略 ；研究者在齿轮有限元分析中开始重 视齿面摩擦力的影响 。研究表明 “ ，齿面摩 擦力在点蚀形成、齿根裂纹萌生与扩展及轮齿断裂过 程中起到加速作用。同时，齿面摩擦力影响到齿轮系 统的动态特性，是重要的振动与噪声激励源 。 上述研究表明，准确求解出啮合齿面上各点的摩 擦力和摩擦因数，对于齿轮疲劳强度设计、破坏机制 分析、系统动力学和减振降噪等研究具有积极的意 义。本文作者将重点对复杂润滑状态下齿面摩擦因数 的计算方法进行系统研究。按研究手段不同，齿面摩 维普资Page 2
186 润滑与密封 总第182期 擦因数计算方法主要分为2大类：一类以弹流润滑理 论为基础，另一类则是以齿面摩擦特性试验为基础。 结合作者的研究成果，补充了线外啮合冲击摩擦模型 及其摩擦因数的计算方法。 1 基于弹流润滑理论的齿面摩擦因数计算方法研究 1965年Bodensieck首次提出 “油膜比厚系数”A： A： （1） 式中：h…为最小油膜厚； ＝￣／ ＋ ；， 。、 分 别为齿面 1、2的粗糙度均方根值。 Akin 16〕在总结前人的成果并结合自己的研究， 把齿轮润滑摩擦状态大致分为3类：A＞3，完全弹 流润滑状态；1 A 3，混合弹流润滑状态；A＜1， 边界润滑状态。下面分别对上述3种润滑状态下齿面 摩擦因数的计算方法进行研究。 1．1 完全弹流润滑 当前比较成熟的弹流润滑理论和摩擦因数计算公 式是在稳态弹流下建立的，典型的计算方法为道森理 论的线／点接触等温全膜弹流数值解法。 Dowson和 Higginson 根据弹流润滑理论，得出 线接触等温全膜弹流数值解的摩擦因数计算公式： ＝ 7／dx （2、 在齿轮传动计算中，瞬时啮合处的最小油膜厚度 是一个非常重要的评价指标，其经验计算式为： h… ＝2．65 G0 。 ” （3） Dowson公式后来被众多的试验所证实，作为理 想弹流阶段的重要成果被普遍承认，在高副传动计算 中被广泛使用。该公式在下面情况时误差较大：①材 料参数G小于1 000，即低弹性模量材料采用低粘度 系数的润滑剂时；②载荷系数 小于 l0 的轻载荷情 况；③供油不足或高速条件下剪切热引起粘度下降等 情况时。值得注意的是，由于滚动摩擦力几乎完全位 于平行油膜的入口处，而推导式 （3）时只考虑使油 膜具有平行区段的载荷，即h ＝h。，如图1所示。 图1 线接触弹流润滑模型 对于更为一般的高副接触情况，1977年，Harm． rock和Dowson 对等温椭圆接触的弹流问题进行了 大量的数值计算，提出了各种情况下点接触弹流的压 力分布、油膜形状以及最小油膜厚度的计算公式。 1979年，他们又提出了等温椭圆接触的润滑状态图， 为理想型点接触弹流油膜厚度的计算奠定了基础 。 下面直接给出Harmrock和Dowson对等温点接触全膜 弹流提出的油膜厚度公式： Hmm＝3．63 G0钾 町 （1一e ） （4） 实验证明 ：式 （4）的计算结果与实际测量值 较为一致，推荐用于等温点接触的弹流润滑计算。 1．2 混合弹流润滑 混合弹流润滑的概念正式提出可以追溯到Chris． tensen 的研究。齿轮传动中，齿面摩擦因数随着转 速、载荷分布与齿廓表面形状等因素的改变而发生显 著变化。Martin 发现，由于上述因素的影响，轮齿 润滑状态在液体摩擦与边界摩擦之间不断摆动。事实 上，混合弹流润滑是实际齿轮传动中广泛存在的接触 状态，是液体润滑、边界润滑、薄膜润滑等的共同组 合。 wu 采用简化的齿轮副摩擦模型研究了轮齿在 动压油膜和边界接触共同作用下的齿面摩擦特性。 Jiang 基于 “Macro Micro” 方法对混合润滑状态下 的齿面摩擦磨损现象进行了探索。基于混合弹流润滑 理论，并结合实验研究，Kelley和 Lemanski〔2 （式 （5））、Martin （式 （6））等人先后提出了不同的 摩擦因数计算公式；Gohar＿2 （式 （7））对Evans— Johnson公式进行了修正，增加了考虑非线性粘性与 粘弹的影响因子。 一 o．o 1 lgl 九 1 71 r … IXT ～P L （o J 7 ￣o＋1．74＠lnP〔 （ 〕 l 丁n凡n l＋ ．O c ． （7） I，．fcL， 32 、l／ 【 面 但由于齿面粗糙度的随机性及轮齿对滚动和相对 滑动过程中表面接触状态的时变性，致使混合润滑状 态下轮齿的摩擦特性非常复杂，至今尚未建立完善的 物理模型及相关理论。Vaishya和 Houser ，对上述 研究成果进行了深入的数值分析和实验比较，结果表 明Kelley和 Lemanski考虑了表面光洁度的闪温因素 在内的公式与实验吻合得较好，较为接近齿轮啮合的 实际工况。Vaishya和Houser还对低粘度润滑剂情况 下的Kelley—Lemanski公式进行了修Page 3
2006年第10期 周长江等：齿轮传动齿面摩擦因数计算方法的研究 187 计算混合润滑状态下齿面摩擦因数的另一种方法 认为：综合摩擦因数＿厂由边界润滑状态下的摩擦因数 与部分液体摩擦因数 。组成： ／＝f．q ＋ 。q 。 （9） 式中：q 、qEHD分别为峰顶接触的承载系数和弹流润 滑油膜的承载系数，均由相应的实验测出，二者满足 q ＋q咖 ＝1。 由表面微凸体的接触性质决定，可用 实验进行测定； 。不是常数，而是啮合轮齿滑滚比 的函数。 1．3 边界润滑 边界润滑由Hardy于 1919年首次提出，用以描 述一种介于液体润滑与干摩擦之间的润滑状态。后来 经 F P Browdon，D Tabor，以及B．B．皿e pYlrHH等人 的贡献，使得边界润滑理论的发展日趋完善，并被称 为提高齿轮传动润滑性能的重要理论基础。 齿轮传动中，边界润滑在一定的情况下客观存 在。如在啮入点附近区域，被动齿轮轮齿的齿顶沿着 主动齿轮齿廓刮行，动力油膜基本被破坏，主要以边 界润滑的形式存在。边界润滑机制复杂，测试分析困 难，因此，至今仍没有统一的计算公式，应用也还处 于经验阶段。边界润滑对齿面摩擦磨损中出现的粘着 效应、犁沟效应等影响显著。 Tallian 通过对粗糙表面弹流接触的压力和湍流 研究，指出工作表面经过跑合，稳定状态下产生的塑 性焊合的可能性很小。对于磨齿、滚齿并经跑合的齿 面来说，可以认为上述啮合阶段齿面处于弹性峰接 触，其边界油膜不会破裂。通常认为峰点接触处于边 界润滑状态，其摩擦因数基本保持为常量，实验所测 得边界润滑的摩擦因数一般为： ＝0．1～0．2。边界 润滑 （A＜1）下齿面摩擦 因数 的计算 多选用 Buckingham 半经验式： “ ＝0．05e加 ＋0． ooz／v； （10） 2 基于齿面摩擦特性试验的齿面摩擦因数计算方法 研究 啮合齿面间的摩擦因数呈时变、强非线性分 布” ；其值取决于齿面材料、表面光洁度、齿形、 载荷、工作温度、润滑状态、非稳态油膜的流变特性 及润滑油种类等诸多因素 。因此，根据纯弹流 润滑理论建立齿轮摩擦特性分析模型很困难，求解也 非常复杂；而过多的条件简化往往会影响到分析结论 的可靠性。于是，许多齿面摩擦特性试验研究应运而 生。 2．1 基于啮合点曲率半径等效原理的模拟试件的齿 面摩擦因数试验研究 啮合点曲率半径等效原理 （图2）为：齿廓上到 节点P距离为s的K点的瞬时啮合接触，可用曲率半 径分别为Rl＝rl sins ＋s与R2＝／’2sint￣ 一s，转速等于 齿轮转速的2个模拟试件—— 当量圆柱体或圆盘的摩 擦接触来模拟。 图2 渐开线齿轮等效曲率半径 齿面摩擦力模拟试验研究，主要是借助齿轮摩擦特 性试验台直接测出模拟试件的摩擦力矩，再计算摩擦力 与摩擦因数。计算式通常比较简单，如式 （11） 与式 （12） ： u＝4．255T／F 2Mf ／ （11） （12） 常见的试验机有双圆盘、四圆盘、盘球试验机 等 ，这些模拟试验机为研究油膜的润滑机制、 摩擦特性及齿面摩擦力与摩擦因数的分析起到了很大 的作用。 但其主要不足有：① 圆柱或圆盘之间的油膜性 状不能完全反映实际轮齿之间的油膜复杂的流变、剪 变等变化规律；② 不能真实反映热、流体与结构的 多物理场耦合效应对润滑油膜的影响；③ 每对圆柱 或圆盘只能模拟齿廓上的一个啮合点的情况，且不能 反映部分齿形参数对油膜性状的作用；④ 不能反映 实际轮齿啮合周期内多润滑状态的交变对油膜摩擦特 性的影响。 2．2 基于功率损失与摩擦功耗等效原理的齿轮试件 的齿面摩擦因数试验研究 Rao 根据一个啮合周期内摩擦功等于输入与输 出功率损失的原理，得出了平均摩擦因数的计算式： 维普资讯 Page 4
188 润滑与密封 总第 182期 （1一叼T）（￡ ＋f ） rh1（1“）〔（ ） ＋ln 丽 〕 （13） 式 （13）只考虑了滑动速度而不计滚动摩擦损 失，且不能求解瞬时摩擦因数。Hori 采用重力摆锤 法使啮合轮齿间产生可控的滑动与滚动来模拟齿面接 触，进而求解出齿面摩擦因数。摆锤法的基本原理是 给摆锤一个很小的自由衰减振荡，摆锤势能的减少量 等于啮合轮齿表面摩擦力所做的功。单双齿啮合区的 齿面摩擦因数计算式分别为： h（cos0 一cos0 ＋2 ） 2（1±卫）e ∑ r ， h（cos0 一cos0m ） r ． i＋2N 一1 （1±： ）（el＋e2） ∑ ， （14） （15） 式中的 “±” 分别表示外啮与内啮合方式，该方法 仅适用于准静态测试。 1．变频电机 Z联轴器 输入转速转 矩传感器 4润滑系统 s加载器 矗冷却系统 试验齿轮 ＆输出转速转 矩传感器 图3 封闭功率流齿轮传动效率测试原理 以齿轮试件为研究对象计算齿面摩擦因数，更多 的是基于功率流齿轮传动效率测试方法，其中以闭式 功率流试验测量居多。其测试原理 （见图3）为：用 转速转矩传感器测出输入端和输出端的转速与转矩， 求出试验齿轮装置的总功率损失，进而算出传动效 率；近似地认为齿面摩擦功耗等于总功率损失，再求 出齿面的 “有效 ” 或 “当量 ” 摩擦因数 （见式 （16））；或将轴承中的摩擦损耗从总功率损失中分离 出来，再计算齿面摩擦因数 加 （见式 （17））。 厂： ・ ．詈 （16） 2 ＋I，b＋ F （17） 实际上，功率流齿轮试验台系统的总功率损失中 包含了齿轮、轴承、联轴器等零部件的空载损耗、搅 油损耗，各封闭圈与轴表面问的摩擦损耗，试验台各 运动副表面的空气阻力损耗，齿面摩擦损耗，轴承摩 擦损耗及联轴器的工作损耗等。基于功率流齿轮传动 效率的测试方法，一方面从总功率损失中分离出摩擦 损耗的操作比较复杂，但若不去掉系统误差，则测量 结果的可信度将大大下降。另外， “有效 ” 或 “当 量”摩擦因数并不能反映轮齿实际啮合周期内不同 接触点真实的摩擦状况。 3 齿面摩擦因数动测实验研究 Benedict 尝试用应变计测量2个孤齿试验齿轮 啮合的瞬时动态摩擦因数，但因系统惯性和低阶系统 共振频率的干扰而致使测试结果失真，最终只得采用 圆盘模拟试验机测量模拟试件的摩擦力。Oswald 在NASA齿轮噪声试验台上进行了动测试验，试验中 采用的试件一类为齿廓修形齿，另一类为未修形齿。 Oswald根据涡流测扭仪的测试结果计算出齿面摩擦 力；该项工作为后来齿面摩擦力动测试验奠定了坚实 的基础。 图 4 齿面摩擦力动测试验 台 Rebbrchi 设计出齿面摩擦力动测试验台 （图 4），并将其测试结果与相关的研究结论进行了验证。 该试验台的基本测试原理为：通过贴在2个连续齿的 齿根过渡曲线区域的应变计，分别测出啮合轮齿的在 接触点的法向力与摩擦力： ISc allFn＋at2Ff （18） 【St＝a21F ＋a22F 再根据库仑定律计算出摩擦因数。由于其中一个试验 齿轮只有一个轮齿，因此当重合度大于1时，测试结 果就不能真实反映多齿啮合区的法向力与摩擦力。另 外，由于该试验测试原理是分时测得法向力与摩擦 力，因此与实际啮合点法向载荷与摩擦力同时作用且 随啮合点不同齿面呈现不同的摩擦过渡与交变的情况 存在一定的差距。 维普资讯 Page 5
2006年第10期 周长江等：齿轮传动齿面摩擦因数计算方法的研究 189 由于动态测试系统能够在较高转速下直接测试轮 齿敏感区的应力应变，与前面提到的模拟试验机与功 率流试验系统相比较，动态测试结果更能真实地反映 啮合点的受力情况。齿面摩擦因数动测试验需要注意 的主要问题有：尽量减小被测系统的动态特性 （如 惯性、共振、系统变形等因素）对测试敏感元件及 其数据采集的干扰；降低测试系统自身的误差等。 4 线外啮合冲击模型及其摩擦因数计算方法的研究 考虑齿轮加工与装配误差、轮齿磨损与弹性变形 以及系统变形等因素时，客观上存在线外啮合冲击接 触。受载轮齿与非理想齿轮传动中，这是不可避免的 现象 j。在线外啮合冲击阶段，齿面的摩擦特性不 同于以弹流润滑理论为基础的边界润滑、混合润滑或 完全弹流状态下的轮齿摩擦机制；同时也不便用上面 介绍模拟试验机测量；也不宜用传统的摩擦功耗与传 动功率损失等效的原理进行分析。在此，作者根据多 年的研究成果建议按冲击摩擦进行建模，并给出了齿 面冲击摩擦因数计算式。 基于精确的齿轮有限 元模型得出的载荷历程数 值分析结论 （图 5）， 准确地推导出考虑双齿区 应力叠加效应且含系统误 差与轮齿综合变形时线外 竺 ．冲 宝 喜图 轮齿综合变形载荷历程 速度和冲击力 （图… — ………… 6）。进而推导出由实际啮入冲击点到理论啮合线啮 入点全程中任意点的位置、冲击速度和冲击力的算 法，从而准确地计算出线外啮合阶段各点的冲击摩擦 力与摩擦因数 ，其中啮入冲击力计算式为： （19） I F cos（arcsin ’b2）dt ＝ ————— （20） I F sin（arcsin ’b2）dt O a2 含系统误差与综合变形齿轮副线外啮合冲击摩擦 分析模型的提出，并准确地计算出线外啮合阶段各点 的冲击摩擦力与摩擦因数，其意义主要体现在：对实 际齿轮传动系统轮齿啮合周期内出现的冲击摩擦接 触、边界润滑、混合润滑与完全弹流润滑等状况分阶 段进行系统研究，从而较完整地揭示出复杂润滑状态 下齿轮副的摩擦力与摩擦因数的变化规律。 图6 齿轮线外冲击啮合 5 结论 （1）以弹流润滑理论为基础，对 3种典型润滑 状态下齿面摩擦因数的计算方法及其适用条件等进行 了较深入的分析。 （2）以齿面摩擦特性试验为基础，分别对基于 啮合点曲率半径等效原理的模拟试件与基于功率损失 同摩擦功耗等效原理的试验齿轮的齿面摩擦因数计算 方法的特点、实验条件及结论等进行了比较研究。 （3）比较指出了齿面摩擦因数动测实验结果具 有更高的可信度。 （4）在分别从理论与实验两个方面对齿面摩擦 因数的计算方法进行了综合分析与比较研究后，补充 提出了含系统误差与综合变形齿轮副线外啮合冲击摩 擦模型，给出了相应的冲击摩擦力与摩擦因数计算 式，从而较完整地构建了含系统误差与综合变形的复 杂润滑状态下齿轮传动齿面摩擦因数的计算方法体 系。该体系对探索齿轮摩擦机制、完善其强度设计准 则；对提高齿轮设计制造水平和促进减摩耐磨技术的 开发，均具有较重要的意义。
参考文献 【1】周仲荣，